sin θ = 0.80 のとき、角 θ を度とラジアンで求めよ。

Step-by-step solution

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   両辺に逆正弦を施す。 正弦をほどく操作が $\sin^{-1}$（アークサイン）である：

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)$

   主値の範囲は $-90^\circ\le\theta\le90^\circ$ なので、ここでは唯一の鋭角が返る。

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   入力が正当かを確かめる。 正弦の絶対値が $1$ を超えることはなく、$0.80$ は $[-1,1]$ の内側にあるので、実数の角が存在する。（$1.2$ のような入力には解が無い。ボタンを押す前に確かめる価値がある。）

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   計算する前に答えを予想する。 $\sin45^\circ\approx0.707$、$\sin60^\circ\approx0.866$ であり、$0.80$ はその間にあるので $\theta$ は $45^\circ$ と $60^\circ$ の間になければならない。この見積もりが、電卓をラジアンモードのままにした失敗を捕まえてくれる。

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   度で計算する。

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)=53.1301^\circ\approx53.13^\circ$

   予想した $45^\circ$–$60^\circ$ の範囲にきちんと収まっている ✓。

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   ラジアンに直す。 $\dfrac{\pi}{180}$ を掛ける：

   $53.1301\times\frac{\pi}{180}=0.9273\ \text{rad}$

   確認として、$0.9273$ は $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$ をやや上回り $\tfrac{\pi}{3}=1.0472$ を下回っており、度での答えと合っている。

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   背後にある特別な三角形に気づく。 $0.80=\tfrac{4}{5}$ なので、これはおなじみの $3$-$4$-$5$ の直角三角形における、長さ $4$ の辺に対する角である。その余弦は $\tfrac35=0.6$、正接は $\tfrac43$ であり、実際 $\tan(53.13^\circ)=1.3333$ ✓。逆向きに確かめると $\sin(0.9273)=0.80000$ ✓。