arccos(1/√3) をラジアンと度の両方で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   記号を方程式に言い換える。 $\arccos(1/\sqrt3)$ を求めるとは、主値の範囲 $[0,\pi]$ の中で

   $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$

   を満たす唯一の角 $\theta$ を求めることである。範囲を制限するからこそ、答えが無限個の族ではなく 1 つの数に定まる。

2. 2

   まず入力を特別な角と照らし合わせる。 覚えておくべき余弦の値は

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.8660,\quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.7071,\quad \cos60^\circ=\frac12$

   である。今回の入力は $1/\sqrt3\approx0.57735$ で、そのどれとも一致しない。したがって $\pi$ の厳密な有理数倍にはならない。

3. 3

   角を挟み込んで位置を特定する。 $0.5<0.57735<0.7071$ であり、余弦は $[0,\pi]$ 上で減少するので、角は

   $45^\circ<\theta<60^\circ$

   を満たさなければならない。この挟み込みが、電卓の出す値に対する手軽な妥当性チェックになる。

4. 4

   数値で求める。 小数第 4 位までで

   $\theta=\arccos(0.577350\ldots)=0.9553\text{ rad}$

   となる。$180^\circ/\pi$ を掛けて度に直すと

   $\theta=0.9553166\times\frac{180}{\pi}=54.7356^\circ$

   となり、たしかに $45^\circ$〜$60^\circ$ の範囲に収まっている。

5. 5

   この角がどこから来るのかに触れておく。 $54.7356^\circ$ は立方体の空間対角線と稜のなす角であり、その 2 倍の $109.47^\circ$ は正四面体の結合角である。つまりこの逆余弦は、結晶学や化学に絶えず登場する。

6. 6

   答えを両方の単位で述べる。

   $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx0.9553\text{ rad}\approx54.74^\circ$