arccos(0.33) の厳密な値を求めよ。

Step-by-step solution

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   逆余弦が何を求めているのかを読み取る。 $\arccos(0.33)$ とは、主値の範囲 $[0,\pi]$（すなわち $[0^\circ,180^\circ]$）にあって $\cos\theta = 0.33.$ を満たす唯一の角 $\theta$ のことである。$[0,\pi]$ に制限するからこそ、答えが無限個の族ではなく 1 つの数に定まる。

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   $0.33$ が特別な値かどうかを確かめる。 初等三角法で閉じた形をもつ余弦は $0,\pm\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt2}{2},\pm\tfrac{\sqrt3}{2},\pm1$ から作られるもの（および $3^\circ$ の倍数に対する多重根号のいくつか）に限られる。$0.33$ はそのどれでもないので、根号と $\pi$ をどう組み合わせてもこの角は簡単な形にならない。

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   厳密な値は逆余弦の式そのものだと結論する。 したがって正直な厳密解は $\theta=\arccos(0.33),$ であり、逆関数の形のまま残す。$\tfrac{\pi}{2}-0.33$ のように書くのは誤りである。その関係が成り立つのは $\arcsin$ に対してであって、無関係な小数に対してではない。

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   ラジアンでの小数値を求める。 逆余弦を数値的に評価すると $\arccos(0.33)=1.234492751\ldots \approx 1.234493\ \text{rad}.$ 妥当性の確認として、$\arccos(0)=\tfrac{\pi}{2}\approx 1.5708$、$\arccos(0.5)=\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$ であり、$0.33$ は $0$ と $0.5$ の間にあるので、角は $1.0472$ と $1.5708$ の間になければならない。実際そうなっている。

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   度に直す。 $180/\pi$ を掛けると $1.234492751\times\frac{180}{\pi}=70.7312245\ldots\approx 70.7312^\circ.$ 逆向きに確かめると $\cos(70.7312^\circ)=0.330000$ となり、話が閉じる。

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   丸めに注意する。 ここでよくある失敗は、早い段階で桁を切り捨ててしまうことである。$70.51^\circ$ に対応するのは $\cos\theta=0.33364$ であって $0.33$ ではない。$70.51^\circ$ と答えると 0.2 度以上ずれており、余弦を取り直せばすぐに露見する。