3 辺が 65, 65, 10.75 で角が 1 つも分かっていない三角形がある。3 つの角をすべて求めよ。

Step-by-step solution

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   3 辺既知の場合に適した道具を選ぶ。 3 辺が分かっていて角が 1 つも無いとき、正弦定理は使えない——常に対応する辺と角の組が 1 つ必要だからである。出発点になりうるのは余弦定理だけである：

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\Longrightarrow\;\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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   二等辺の対称性を活かす。 2 辺が等しい（$65=65$）ので、それらに向かい合う 2 つの角も等しい。つまり、他と異なる辺 $10.75$ に向かい合う角 $C$ について余弦定理を 1 回使えば、すべてが決まる。

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   数値を代入する。

   $\cos C=\frac{65^2+65^2-10.75^2}{2(65)(65)}=\frac{4225+4225-115.5625}{8450}=\frac{8334.4375}{8450}=0.98632396$

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   逆余弦をとる。

   $C=\cos^{-1}(0.98632396)=9.4867^{\circ}$

   コサインがこれほど $1$ に近いのは、極端に細長い三角形であることの数値的な現れである。辺が $65,65,10.75$ であることとまさに符合する。

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   内角の和から底角 2 つを求める。

   $A=B=\frac{180^{\circ}-9.4867^{\circ}}{2}=85.2567^{\circ}$

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   面積を使って独立に検算する。 $s=70.375$ としてヘロンの公式を使うと面積 $=348.178$ が得られる。同じ面積は $\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12(65)(65)\sin(9.4867^{\circ})=348.178$ からも得られる ✓。また $9.4867+85.2567+85.2567=180.0001^{\circ}$ となり、丸めの範囲で内角の和と一致する。