すべての実数 θ について tan(θ) = 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定義から基準角を求める。 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ なので、正接が $1$ であることは $\sin\theta=\cos\theta$ を意味する。直角三角形で言えば対辺と隣辺が等しいということ——$45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ の三角形である。よって

   $\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

   が解であり、$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ によって厳密に確かめられる。

2. 2

   1 回転の中の 2 つ目の解を見つける。 正接は第 3 象限でも正である。そこでは正弦と余弦がともに負で、しかも等しい：$\theta=\tfrac{5\pi}{4}$ では $\sin=\cos=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ なので、再び $\tan=1$ となる。

3. 3

   周期が 2π ではなく π であることを見抜く。 この 2 つの解の間隔はちょうど $\pi$ である。正弦と余弦の両方の符号を反転させても比は変わらないからで、$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$ が成り立つ。つまり正接は半回転ごとに繰り返す——$2\pi$ を要する正弦・余弦とは違う。

4. 4

   一般解をひとつの族として書く。 周期が $\pi$ なので、2 つの基本解が一度に捉えられる：

   $\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   $k=0$ で $\tfrac{\pi}{4}$、$k=1$ で $\tfrac{5\pi}{4}$ が得られる。ここでは 2 つ目の族は要らない——それぞれ 2 つを必要とする $\sin x=c$ や $\cos x=c$ との本質的な違いである。

5. 5

   度数法の形も示す。

   $\theta=45^\circ+180^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   すなわち $45^\circ,\ 225^\circ,\ 405^\circ,\ -135^\circ,\ \ldots$ である。

6. 6

   いくつかの k で検証する。 $k=-3,\,0,\,1,\,5$ について $\tan\left(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\right)$ を評価すると、いずれの場合も $1.000000$ になる ✓。またこれらの角はどれも、正接が定義されない $\tfrac{\pi}{2}$ の奇数倍には当たらない ✓。