sin x = √3/2 を満たす実数をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   参照角を求める。 参照角とは、サインの大きさが同じ値になる鋭角のことである：

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{参照角}=\frac{\pi}{3}$

2. 2

   どの象限が該当するかを決める。 値 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ は正であり、$\sin x>0$ となるのは第 1 象限と第 2 象限である。したがって 1 周期 $[0,2\pi)$ の中に解はちょうど 2 つある——右辺が $-1$ と $1$ の間にあるサインの方程式は、必ず 2 つの解をもつ。

3. 3

   2 つの基準解を書く。 第 1 象限では参照角そのものが解になり、第 2 象限では $\pi$ からそれを引いたものが解になる：

   $x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

4. 4

   周期の分だけ拡張する。 サインの周期は $2\pi$ なので、$2\pi$ の整数倍を加えればすべての解が得られる：

   $\boxed{\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ \text{ または }\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}}$

5. 5

   2 つの族を検算し、まとめた形にも触れる。 $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓、$\sin\tfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓。この 2 つの族は 1 つの式 $x=(-1)^{n}\tfrac{\pi}{3}+\pi n$、$n\in\mathbb{Z}$ と書くこともでき、同じ集合を生成する。一方、$\tfrac{\pi}{3}$ だけに $2\pi n$ ではなく $\pi n$ を加えてしまうと、$\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ となる $x=\tfrac{4\pi}{3}$ まで誤って含めてしまう。