航空機 Q が水平と 45° をなす経路を 450 km/h で上昇する。0.7 分後、高度 5 km にいる航空機 P より Q は高いか低いか。

Step-by-step solution

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   速度を水平成分と鉛直成分に分ける。 速さ $450$ km/h は飛行経路に沿って測ったものであり、真上向きではない。経路・地面・高度がつくる直角三角形において、高度は上昇角の対辺にあたるので

   $v_y=450\sin 45^{\circ}.$

   となる。速さそのものを上昇率として使うのが、ここでの典型的な誤りである。

2. 2

   鉛直方向の速さを計算する。 $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ より

   $v_y=450\cdot \tfrac{\sqrt2}{2}=318.1981\ \text{km/h}.$

3. 3

   時間を時間単位に直す。 速さは 1 時間あたりだが時間は分で与えられているので

   $t=\frac{0.7}{60}=0.0116667\ \text{h}.$

   ここで単位を混ぜてしまうのが 2 つ目の典型的な誤りである。

4. 4

   得られた高度を計算する。

   $h_{Q}=v_y\,t=318.198\times 0.0116667=3.71231\ \text{km}.$

   同じことだが、経路上を $5.25$ km 進み、その $\sin 45^{\circ}$ の割合をとると考えてもよい。ここでは $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ が無理数なので、厳密な高度は $5.25\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{21\sqrt2}{8}$ km、数値では $3.712311$ km である。

5. 5

   航空機 $P$ と比べる。 $3.7123 < 5$ なので、航空機 $Q$ は航空機 $P$ より低い。同じ速さと角度で $P$ を追い越すには $t>0.9428$ 分が必要である。