すべての実数 x について sin(2x)cos(2x) = −1/2 を解け。

Step-by-step solution

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   積を正弦の半分と見抜く。 積 $\sin\theta\cos\theta$ をそのまま解くことはなく、必ず $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を使ってひとつの正弦に畳み込む。ここでは $\theta = 2x$ なので、$2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)$ となる。

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   両辺を 2 倍して公式を適用する。

   $2\sin(2x)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \sin(4x) = -1$

   これで方程式はひとつの角についてのひとつの三角関数になり、一般解の公式がそのまま使える形になった。

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   sin(4x) = −1 を解く。 正弦が最小値 $-1$ に達するのは各周期の底、すなわち角 $\tfrac{3\pi}{2}$ に整数回転を足したところだけである。$-1$ は極値なので、通常の 2 つではなく 1 つの族しかない：

   $4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

4. 4

   4 で割って x を孤立させる。 周期も含めてすべての項を割る：

   $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2}k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   周期は $2\pi$ から $\tfrac{\pi}{2}$ に縮んだので、長さ $2\pi$ の任意の区間には解が 1 つではなく 4 つある。

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   基本解を確かめる。 $x = \tfrac{3\pi}{8}$ では $2x = \tfrac{3\pi}{4}$ で、$\sin\tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$、$\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ である。積は $-\tfrac{2}{4} = -\tfrac12$ となり、ちょうど右辺に一致する。