y = 2 cos(3x - 2π) の周期はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   3 つのパラメータを見きわめる。 一般形 $y = A\cos(bx - c)$ と比べると、振幅は $A = 2$、$x$ の係数は $b = 3$、位相の項は $c = 2\pi$ である。このうち周期を決めるのは 1 つだけである。

2. 2

   周期の公式を使う。 余弦は引数が $2\pi$ 進むと 1 周期を終える。ここでの引数は $3x - 2\pi$ であり、$x$ が $2\pi/3$ 進むと引数が $2\pi$ 進む。

   $3(x + p) - 2\pi = (3x - 2\pi) + 2\pi \;\Longrightarrow\; 3p = 2\pi \;\Longrightarrow\; p = \frac{2\pi}{3}$

3. 3

   振幅が関係しない理由を見る。 因子 $2$ は出力を縦方向に拡大するだけである。$2\cos\theta$ は $\cos\theta$ が繰り返すのとちょうど同じところで繰り返すので、横方向の 1 周期の長さは変わらない——波が高くなっても長くはならない。

4. 4

   位相のずれも関係しない理由を見る。 内側で $2\pi$ を引くとグラフは右へ $2\pi/3$ だけ滑るが、周期的なグラフを平行移動しても繰り返しの間隔は変わらない。実際 $2\pi$ は余弦のちょうど 1 周期なので、ここでは $\cos(3x - 2\pi) = \cos 3x$ であり、グラフは見た目にもずれてすらいない。

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   答えを述べて確認する。 周期は $\dfrac{2\pi}{3}$ である。直接確かめると $y(0) = 2\cos(-2\pi) = 2$、$y\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 2\cos(2\pi - 2\pi) = 2\cos 0 = 2$ ✓ であり、中間点では $y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\cos(\pi - 2\pi) = -2$ となって、その間に本当に 1 往復していることがわかる。$3\pi$ や $6\pi$ といった紛らわしい選択肢は、$b$ で割るところを掛けてしまった結果である。