sqrt(1 + tan^2(alpha) * sin^2(beta)) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   反射的に $1+\tan^2=\sec^2$ を使わない。 この公式はタンジェントの項が単独で立っているときのものである。ここでは $\sin^2\beta$ が掛かっているので、$1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ は $\sec^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ でも、その種のきれいな形でもない。確実な道は、正弦と余弦に直してまとめることである。

2. 2

   タンジェントを書き直す。 $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ より

   $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1+\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

   となる。

3. 3

   すべてを共通分母 $\cos^{2}\alpha$ の上に乗せる。

   $=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

   1 つの分数にまとめておくことで、次の段階で平方根がきれいに分かれる。

4. 4

   絶対値を保ったまま平方根を取る。 $\sqrt{\cos^{2}\alpha}=\left|\cos\alpha\right|$ であり、負にもなりうる $\cos\alpha$ ではないので

   $\sqrt{1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta}=\frac{\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

   となる。

5. 5

   ピタゴラスの公式で分子を簡単にする。 $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$ で置き換えてくくり出すと

   $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1-\sin^{2}\alpha\left(1-\sin^{2}\beta\right)=1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta$

   となるので、同値でより対称的な形として

   $\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

   が得られる。

6. 6

   数値で確かめる。 $\alpha=0.9,\ \beta=2.1$ ではもとの式が $1.477588$ となり、簡単にした 2 つの形もどちらも $1.477588$ になる ✓。2 つ目の形からは値の範囲もはっきりする。分子は $\left|\cos\alpha\right|$ と $1$ の間にあるので、式全体が $1$ を下回ることはない。