中心角 70°、半径 12 yd の扇形がある。弧の長さ s と扇形の面積 A を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず角をラジアンに直す。 公式 $s=r\theta$ と $A=\tfrac12 r^2\theta$ が使えるのは $\theta$ がラジアンのときだけである。これらは円全体の $\theta/(2\pi)$ の割合をとることから導かれるからである。$\pi/180$ を掛けると：

   $\theta=70^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{18}\ \text{rad}$

   度数のまま代入すると、どちらの答えもおよそ $57$ 倍に膨れ上がってしまう。

2. 2

   扇形の 2 つの公式を書く。 中心角 $\theta$ がラジアンのとき、

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   である。これらは円周 $2\pi r$ と円の面積 $\pi r^2$ の $\theta/(2\pi)$ 倍にすぎない。

3. 3

   弧の長さを計算する。

   $s=r\theta=12\left(\frac{7\pi}{18}\right)=\frac{14\pi}{3}\approx 14.661\ \text{yd}$

4. 4

   扇形の面積を計算する。 先に半径を 2 乗し、それから半分にする：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(12)^2\left(\frac{7\pi}{18}\right)=72\left(\frac{7\pi}{18}\right)=28\pi\approx 87.965\ \text{yd}^2$

5. 5

   丸めた答えを書き出す。

   $\boxed{s\approx 14.661\ \text{yd},\qquad A\approx 87.965\ \text{yd}^2}$

6. 6

   A = ½rs の関係で検算する。 2 つの公式から $\theta$ を消去すると $A=\tfrac12 rs$ が得られる。厳密な形では $\tfrac12(12)\left(\tfrac{14\pi}{3}\right)=28\pi$ となり、上で求めた面積とぴったり一致する。（丸めた $s=14.661$ を使うと $87.966$ になるが、これは丸めだけが原因の末尾 1 桁の差である。）