中心角 π/6 ラジアン、半径 4 m の扇形がある。弧の長さ s と扇形の面積 A を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   扇形の 2 つの公式を書く。 中心角 $\theta$ がラジアンのとき、

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   である。これらは円周 $2\pi r$ と円の面積 $\pi r^2$ の $\theta/(2\pi)$ 倍にすぎない。

2. 2

   弧の長さを計算する。

   $s=r\theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{m}$

3. 3

   扇形の面積を計算する。 先に半径を 2 乗し、それから半分にする：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(4)^2\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12(16)\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\pi}{3}\approx 4.189\ \text{m}^2$

4. 4

   丸めた答えを書き出す。

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{m},\qquad A\approx 4.189\ \text{m}^2}$

5. 5

   A = ½rs の関係で検算する。 $\theta$ を消去すると $A=\tfrac12 rs$ となり、$\tfrac12(4)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$ で、上で求めた面積とぴったり一致する。

6. 6

   π/3、r = 2 ft の場合と比べる。 あちらでも弧は $\tfrac{2\pi}{3}$ だった。$\theta$ を半分にして $r$ を 2 倍にしても $r\theta$ は変わらないからである。しかし面積は $r^2\theta$ に依存するので、$r$ を 2 倍・$\theta$ を半分にすると2 倍になる——$\tfrac{2\pi}{3}$ から $\tfrac{4\pi}{3}$ へ。弧が等しくても扇形の面積が等しいとは限らない。