正誤を判定せよ：csc(7π/6) = −2。

Step-by-step solution

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   余割の定義を思い出す。 余割は逆関数ではなく逆数である：

   $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

   したがってこの問題は、$\sin\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)$を厳密に求めることに帰着する。

2. 2

   角の位置を捉え、参照角を求める。 この角を$\pi$を超えた回転として書くと：

   $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

   $\pi$（すなわち$180^{\circ}$）を少し超えた角は第3象限にあり、その参照角は$\tfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}$である。

3. 3

   象限による符号を適用する。 第3象限では単位円上の$x$座標も$y$座標も負なので、正弦はそこで負になる。$\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac12$なので、

   $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

   単位円上の点は$\left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\, -\tfrac12\right)$であり、その$y$座標が正弦である。

4. 4

   逆数を取る。

   $\csc\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{-\tfrac12} = -2$

   逆数は符号を保つので、正弦が負なら余割も負になる。また$\left|\sin\right| = \tfrac12 < 1$なので余割の絶対値は$1$より大きくなければならず、$2$という値と整合する。

5. 5

   正誤の判定を答える。 主張は計算した値とぴったり一致するので、正しい。数値で確かめると$1/\sin(7\pi/6) = -2.000000000000001$となるが、この微小な残差は浮動小数点の誤差であって本質的なずれではない。