区間 [0, 2π) において sin²x + sin x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $\sin x$ についての 2 次式とみなす。 $u = \sin x$ と置けば方程式は $u^2 + u = 0$ になる。2 次式の形だと見抜くことが鍵であり、恒等式は必要ない。

2. 2

   割るのではなく因数分解する。 共通因数の $\sin x$ をくくり出す：

   $\sin x\,(\sin x + 1) = 0$

   両辺を $\sin x$ で割ってはならない——$\sin x = 0$ となる解が黙って捨てられてしまい、ここではそれが答えの大部分を占める。

3. 3

   2 つの簡単な方程式に分ける。 積がゼロになるのは、いずれかの因数がゼロのときだけである：

   $\sin x = 0 \qquad \text{または} \qquad \sin x = -1$

4. 4

   それぞれを $[0, 2\pi)$ 上で解く。 正弦は周期の両端と中央でゼロになり、最小値 $-1$ には 1 度だけ達する：

   $\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\ \pi \qquad (2\pi \text{ は半開区間なので除外})$

   $\sin x = -1 \;\Rightarrow\; x = \frac{3\pi}{2}$

5. 5

   すべての解を集めて検証する。 解集合は $\left\{0,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}$ である。代入して確かめると、$x=0$ では $0 + 0 = 0$ ✓、$x=\pi$ では $0 + 0 = 0$ ✓、$x = \tfrac{3\pi}{2}$ では $(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ ✓。$[0,2\pi)$ 上の $2$ 百万点を数値で走査しても零点は $0$、$\pi$、$1.5\pi$ にしか現れず、取りこぼしは無い——とくに、よくある誤答の候補に挙がる $\tfrac{2\pi}{3}$ と $\tfrac{4\pi}{3}$ は $\tfrac34 \pm \tfrac{\sqrt3}{2} \neq 0$ を与える。