cos t = −tan(x) × tan(x) を x について解き、解が存在する条件を述べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   同じ因子の繰り返しをまとめる。 右辺は同じ量どうしの積である：

   $\tan(x)\tan(x)=\tan^2(x)\quad\Rightarrow\quad \cos t=-\tan^2(x)$

2. 2

   $\tan^2$の値域から、そもそも解が存在しうる条件を求める。 実数の2乗は決して負にならないので$\tan^2(x)\ge 0$であり、したがって$-\tan^2(x)\le 0$である。左辺もこれに合わなければならないので、可解条件は

   $\cos t\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\left[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$

   となる。$\cos t>0$ならば実数の$x$は1つも存在しない——これを最初に確認しておけば、解けない方程式に取り組まずに済む。

3. 3

   2乗の項を単独にする。

   $\tan^2(x)=-\cos t$

   上の条件のもとで右辺は$\ge 0$なので、平方根を取ってよい。

4. 4

   両方の平方根を取る。

   $\tan(x)=\pm\sqrt{-\cos t}$

   両方の符号を残すことが肝心である：負の分枝を落とすと解の族の半分を失ってしまう。

5. 5

   正接の周期全体にわたって逆関数を取る。 正接の周期は$2\pi$ではなく$\pi$であり、$\arctan$は奇関数なので、2つの分枝は1つの式にまとまる：

   $x=\pm\arctan\left(\sqrt{-\cos t}\right)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

6. 6

   代表的な2つの$t$で検算する。 $\cos t=0$（たとえば$t=\tfrac{\pi}{2}$）ならこの式は$x=k\pi$を与え、実際$-\tan^2(0)=0=\cos\tfrac{\pi}{2}$である ✓。$t=\pi$なら$\cos t=-1$なので$\tan^2 x=1$、すなわち$x=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\pi$となり、代入すると$-\tan^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-1=\cos\pi$である ✓。