sin(9x)/cot(12x) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   コタンジェントを定義に置き換える。 商の公式は

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},$

   なので、$\theta=12x$ とすると式は

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}.$

   になる。逆数の三角関数が扱いにくい位置にあるときは、正弦と余弦で書き直すのがほとんど常に正しい第一手である。

2. 2

   分数で割るには逆数を掛ける。 繁分数 $\dfrac{A}{B/C}$ は $A\cdot\dfrac{C}{B}$ に等しい。

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

   典型的な誤りは $\sin(9x)\cdot\frac{\cos(12x)}{\sin(12x)}$ と書いてしまうことである。$\cot$ で割るのは $\tan$ を掛けることであって、$\cot$ を掛けることではない。

3. 3

   タンジェントを見つける。 $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$ なので

   $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\tan(12x).$

   となる。同じことだが $\dfrac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}$ のままにしてもよい。どちらの形も正しく、$\tan$ を使ったほうが簡潔である。

4. 4

   定義域の制限を述べる。 もとの式では $\cot(12x)$ が定義され、かつ 0 でないことが必要なので、$\sin(12x)\ne0$ かつ $\cos(12x)\ne0$、すなわち $12x\ne\frac{k\pi}{2}$ である。簡単にした形 $\sin(9x)\tan(12x)$ は $\cos(12x)\ne0$ だけを要求するので、もとの式よりわずかに広い範囲で定義される——両方が意味をもつところでは両者は一致する。

5. 5

   数値で確かめる。 $x=0.1$ のとき $\sin(0.9)=0.783327$、$\cot(1.2)=0.3887796$ なので、もとの商は $\frac{0.783327}{0.3887796}=2.014836$ である。一方 $\sin(0.9)\tan(1.2)=0.783327\times2.572152=2.014836$ ✓。どちらの関数も極から遠い値で一致することが、この変形の正しさを裏づけている。