三角形 ABC において (cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3/b であり、a = 3、c = 2√3 である。sin A を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   内角の和を使って分子から B を消す。 どんな三角形でも $A+B+C=\pi$ なので $B=\pi-(A+C)$ であり、

   $\cos B=-\cos(A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C.$

   となる。この置き換えがこの問題の要のすべてで、扱いにくい分子を一気に崩してくれる。

2. 2

   分子を整理する。

   $\cos B+\cos A\cos C=\left(\sin A\sin C-\cos A\cos C\right)+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   したがって左辺は

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}.$

   になる。

3. 3

   正弦定理で右辺も正弦に直す。 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}$ なので、

   $\frac{a\sqrt{3}}{b}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\sin B}.$

4. 4

   約分して C を求める。 両辺を等しいとおき、共通因子 $\dfrac{\sin A}{\sin B}$（三角形では 0 でない）を約分すると：

   $\frac{\sin C}{\cos C}=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ \tan C=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3},$

   となる。$C$ は $(0,\pi)$ にあり、もとの式が定義されるためには $\cos C\neq 0$ でなければならないからである。

5. 5

   与えられた辺と正弦定理を使う。 $a=3$、$c=2\sqrt3$、$\sin C=\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ より：

   $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

6. 6

   三角形として妥当かを確かめる。 $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$ なので、角 $A$ は $C=60^\circ$ より小さくなければならない。実際 $\arcsin\tfrac34\approx 48.6^\circ<60^\circ$ であり、鋭角のほうが正しく、あいまいな第 2 の解が残ることもない。