0 以上 2π 未満の範囲で 2 sin(2θ + π/4) − 1 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   サインを孤立させる。

   $\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$

2. 2

   角全体を置き換え、区間を変換する。 $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ とおく。$\theta$ が $[0,2\pi)$ を動くと $2\theta$ は $[0,4\pi)$ を動くので

   $\frac{\pi}{4}\le t<4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$

   区間の変換こそが飛ばされがちな手順である。角が 2 倍になっているぶん 2 周ぶんを掃くので、解の個数はふだんのおよそ 2 倍になると見込んでよい。

3. 3

   伸びた区間の中で sin t = 1/2 を満たす t をすべて拾う。 1 周期のうちの解は $t=\tfrac{\pi}{6}$ と $t=\tfrac{5\pi}{6}$ であり、$2\pi$ の整数倍を加えて $\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}\right)$ に入るものを残すと

   $t=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}.$

   となる。$t=\tfrac{\pi}{6}$ は $\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{4}$ なので除かれる。位相のずれによって先頭の解が 1 つ落ちるわけである。

4. 4

   置き換えを戻す。 $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ より $\theta=\dfrac{t-\pi/4}{2}$ となる。中身を分母 $12$ で通分すると

   $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{12},\quad \frac{17\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{31\pi}{12},\quad \frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{47\pi}{12}.$

5. 5

   それぞれを半分にして θ を得る。

   $\theta=\frac{7\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{31\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24}.$

   $\tfrac{47\pi}{24}<\tfrac{48\pi}{24}=2\pi$ なので、4 つとも $[0,2\pi)$ に入っている ✓。

6. 6

   1 つ検算する。 $\theta=\tfrac{7\pi}{24}$ のとき $2\theta+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+\tfrac{3\pi}{12}=\tfrac{10\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{6}$ であり、$2\sin\tfrac{5\pi}{6}-1=2(\tfrac12)-1=0$ ✓。隣り合う解の差は $\tfrac{16\pi}{24}$ と $\tfrac{8\pi}{24}$ が交互に現れる。1 周期に 2 個の解が 2 周ぶん並ぶときに期待されるとおりの並びである。