方程式 3 tan x + √3 = 0 を解き、k を整数として一般解を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   タンジェントを孤立させる。 定数を移して $3$ で割ると

   $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

   となる。見慣れた形に有理化しておくと扱いやすい。$\dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ なので $\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$ である。

2. 2

   基準角を求める。 辺の比が $1$、$\sqrt3$、$2$ の $30^{\circ}$–$60^{\circ}$–$90^{\circ}$ の直角三角形から $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ が分かる。したがって基準角は $\dfrac{\pi}{6}$、すなわち $30^{\circ}$ である。$\tan = \sqrt3$ となる $\dfrac{\pi}{3}$ ではない。

3. 3

   符号から角の位置を決める。 タンジェントが負になるのは第 2 象限と第 4 象限である。$\tan$ は奇関数なので、主値の解は基準角の符号を反転させるだけでよい。

   $x = -\frac{\pi}{6}$

4. 4

   周期は 1 つぶんだけ足す。 タンジェントの周期は $2\pi$ ではなく $\pi$ であり、すべての解が 1 つの系統で捉えられる。

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   $-\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ と書くと解の半分が失われ、$\tfrac{\pi}{6} + \pi k$ と書くと $\tan x = +\tfrac{1}{\sqrt3}$ になって符号が逆になる。

5. 5

   検証する。 $k=0$ のとき $\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ であり、$3\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) + \sqrt3 = -\sqrt3 + \sqrt3 = 0$ ✓。$k=1$ のとき $x = \tfrac{5\pi}{6}$ で $\tan\tfrac{5\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ ✓ となり、予想どおり第 2 象限の解が得られる。