arctan(3716/3936) の値をラジアンと度の両方で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に分数を約分する。 どちらの数も $4$ で割り切れる：

   $\gcd(3716,3936)=4\ \Longrightarrow\ \frac{3716}{3936}=\frac{929}{984}$

   先に約分しておく価値はある。次の手順——特別な角かどうかの判定——を目で見て済ませられるようになるからである。

2. 2

   入力が特別な正接の値かどうかを調べる。 厳密な値をもつ正接は $0$、$\tfrac{\sqrt3}{3}=0.5774$、$1$、$\sqrt3=1.7321$ である。ここでは

   $\frac{929}{984}=0.944106$

   であり、そのどれでもない。しかも $929$ は素数なので、隠れた根号が潜んでいることもない。厳密な閉じた形は存在せず、電卓が本当に必要である。

3. 3

   計算する前に答えを挟み込む。 $0.944106<1$ であり、正接は $(0,\tfrac{\pi}{2})$ 上で増加するので、角は $\arctan 1=45^{\circ}$ より小さくなければならない。ただし比が $1$ に近いので、下回り方はわずかである。度でいえば $40$ 度台の前半を見込める。

4. 4

   ラジアンで計算する。

   $\arctan(0.944106)=0.7566554\ \text{rad}$

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   度に直す。 $\tfrac{180}{\pi}$ を掛ける：

   $0.7566554\times\frac{180}{\pi}=43.3532^{\circ}$

   これはちょうど $45^{\circ}$ をわずかに下回っており、ステップ 3 の予想どおりである ✓。

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   正接を取り直して検算する。 $\tan(0.7566554)=0.944106$ となり、$\tfrac{929}{984}$ を小数第 6 位まで再現している ✓。さらに $0.7566554$ rad は $\tfrac{\pi}{4}=0.785398$ rad をわずかに下回っており、角が $45^{\circ}$ 未満であることと整合する。