arccos(0.75) を度とラジアンの両方で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何を問われているのかを押さえる。 $\cos^{-1}(0.75)$ とは、$\cos\theta=0.75$ かつ $0\le\theta\le\pi$ を満たす角 $\theta$ のことである。これが逆余弦の主値の範囲であり、arcsin とは違って $-90^{\circ}$ から $90^{\circ}$ ではなく $0$ から $180^{\circ}$ までを動く。

2. 2

   入力を確認し、答えのおおよその値を予想する。 $\cos^{-1}$ の定義域は $[-1,1]$ で、$0.75$ はその内側にある。$\cos 0^{\circ}=1$、$\cos 60^{\circ}=0.5$ であり、$0.75$ はその間にあるので、答えは $0^{\circ}$ と $60^{\circ}$ の間になければならない。$\cos 45^{\circ}\approx 0.707$ なので $45^{\circ}$ に近い値である。この見積もりこそ、電卓の角度モードの取り違えを捕まえてくれる。

3. 3

   $0.75$ は特別な角ではないと見抜く。 $\tfrac12$、$\tfrac{\sqrt2}{2}$、$\tfrac{\sqrt3}{2}$ と違って、$0.75$ に対応する標準的な三角形は存在しない。したがって厳密な閉じた形はなく、電卓が本当に必要になる。

4. 4

   度で計算する。

   $\cos^{-1}(0.75)=41.4096^{\circ}\approx 41.41^{\circ}$

   これは $0^{\circ}$ と $60^{\circ}$ の間にあり、$45^{\circ}$ をわずかに下回っていて、予想どおりである。

5. 5

   ラジアンに直す。 $\dfrac{\pi}{180}$ を掛ける：

   $41.4096\times\frac{\pi}{180}=0.7227\ \text{rad}$

   確認として、$0.7227$ は $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$ をわずかに下回っており、角が $45^{\circ}$ をわずかに下回ることと整合する。逆向きに確かめると $\cos(0.7227)=0.75002$ ✓。