tan(5π/6) と等しいのは次のどれか。tan(−π/6)、cot(5π/6)、tan(7π/6)、tan(−5π/6)。

Step-by-step solution

1. 1

   角の位置を押さえ、厳密な値を求める。 $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ は第 2 象限にあり、そこではサインが正でコサインが負なのでタンジェントは負である。参照角は $\pi-\frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ なので $\tan\frac{5\pi}{6} = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3} \approx -0.5774.$

2. 2

   タンジェントの奇関数性で tan(−π/6) を調べる。 $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ なので $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3}.$ これは完全に一致する。

3. 3

   cot(5π/6) を排除する。 コタンジェントは逆数であって同じ関数ではない：$\cot\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{-1/\sqrt3} = -\sqrt3 \approx -1.7321$。符号は同じだが大きさが違う。

4. 4

   tan(7π/6) を排除する。 タンジェントの周期は $\pi$ なので $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\!\left(\frac{7\pi}{6}-\pi\right) = \tan\frac{\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$。この角は第 3 象限にあり、そこではタンジェントが正——符号が違う。

5. 5

   tan(−5π/6) を排除する。 奇関数性より $\tan\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\frac{5\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$——やはり符号が違い、実際には求める値の符号を変えたものである。

6. 6

   答えと一般則を述べる。 条件を満たすのは $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ だけである。一般に任意の整数 $k$ について $\tan\theta = \tan(\theta+k\pi)$ が成り立ち、ここでは $\frac{5\pi}{6}-\pi = -\frac{\pi}{6}$——2 つの角はちょうど 1 周期ぶん離れている。