arctan(x) + arctan(1/x) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域を確定する。 項 $\frac1x$ には $x\neq 0$ が必要なので、この式は $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ の上で定義される——2 つに切れた区間であり、答えがそれぞれで違うかもしれないという合図になっている。

2. 2

   $x>0$ の場合：余角を使う。 $\theta=\arctan x$ と置くと $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$、$\tan\theta=x$ である。このとき

   $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta=\frac1x$

   であり、$\frac{\pi}{2}-\theta$ もまた $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ に入る。これは $\arctan$ の主値の範囲の内側である。したがって $\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}-\theta$ となり

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}$

   が得られる。

3. 3

   $x<0$ の場合：同じ議論を繰り返さず、奇関数性を使う。 $x<0$ かつ $\frac1x<0$ なので 2 つの逆正接はどちらも負であり、その和が $+\frac{\pi}{2}$ になることはありえない。先の結果を $-x>0$ に適用し、$\arctan(-t)=-\arctan t$ を使うと：

   $\arctan(-x)+\arctan\left(-\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ -\left(\arctan x+\arctan\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}$

   となり、和は $-\frac{\pi}{2}$ である。

4. 4

   正接の加法定理だけでは足りない理由を見る。 $A=\arctan x$、$B=\arctan\frac1x$ とすると

   $\tan(A+B)=\frac{x+\frac1x}{1-x\cdot\frac1x}=\frac{x+\frac1x}{0}$

   となり、これは定義されない。ここから分かるのは $A+B$ が $\frac{\pi}{2}$ の奇数倍だということだけで、どれになるかを決めるには上の値域の議論が要る。

5. 5

   1 つの式にまとめる。

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x),\qquad x\neq 0$

   この関数はそれぞれの半直線の上では定数で、$x=0$ を挟んで $\pi$ だけ跳ぶ。決して恒等的に $\frac{\pi}{2}$ ではない。

6. 6

   数値で確かめる。 $x=2$ では $\arctan 2=1.1071487$、$\arctan 0.5=0.4636476$ で、和は $1.5707963=\frac{\pi}{2}$ ✓。$x=-2$ では 2 つの値の符号が反転し、和は $-1.5707963=-\frac{\pi}{2}$ ✓ となる。