sin(x) × sin(x) = 1/2 を x について解き、一般解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積を平方として書き直す。 左辺は $\sin x$ を自分自身に掛けたものなので、

   $\sin^{2}x=\frac12.$

   こう書くことが重要なのは、次の一手——2 つの符号を伴う平方根をとること——が明白になるからである。

2. 2

   両方の符号を残して平方根をとる。 $\sin^{2}x=\tfrac12$ より、

   $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$

   負のほうを落とすと解の半分が失われる。$\tfrac{\sqrt2}{2}$ の基準角は $\tfrac{\pi}{4}$（すなわち $45^{\circ}$）なので、すべての解は軸から $45^{\circ}$ の位置に並ぶ。

3. 3

   象限ごとに 4 つの族を書く。 $\sin x=+\tfrac{\sqrt2}{2}$ の $[0,2\pi)$ における解は $\tfrac{\pi}{4}$ と $\tfrac{3\pi}{4}$、$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ では $\tfrac{5\pi}{4}$ と $\tfrac{7\pi}{4}$ である。それぞれに $2k\pi$ を足すと

   $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{7\pi}{4}+2k\pi.$

4. 4

   4 つの族をひとつにまとめる。 4 つの基本角 $\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}$ は等間隔で、互いに $\tfrac{\pi}{2}$ ずつ離れている。したがって解集合全体がひとつの等差の族に畳み込まれる：

   $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}\quad(45^{\circ}+90^{\circ}k).$

   このまとまった形は述べるのが楽なだけでなく、この方程式がより大きな問題の一部になっているときに格段に扱いやすい。

5. 5

   2 倍角の恒等式で照合する。 $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ なので、この方程式は次と同値である：

   $\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12\;\Longrightarrow\;\cos 2x=0\;\Longrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.$

   恒等式を使う道筋はまとまった族に直接到達し、答えを独立に裏づける ✓。