コサインの値が −0.8 になる角はどれか。0° 以上 360° 未満の解をすべて求めよ。

Step-by-step solution

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   解がどこにありうるかを決める。 コサインは単位円上の x 座標に等しいので、コサインが負であれば角は縦軸より左側——第 2 象限か第 3 象限——に来る。1 周の中に解はちょうど 2 つあると見込める。

2. 2

   絶対値から参照角を求める。 参照角は横軸の近い方までの鋭角を測るものなので、$+0.8$ を使う：

   $\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$

   （$0.8 = 4/5$ なので、これはおなじみの $3$–$4$–$5$ の角である。）

3. 3

   参照角を第 2 象限に置く。 第 2 象限では、角は $180^\circ$ から参照角を引いたものになる：

   $\theta_1 = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$

   アークコサインの値域は $[0^\circ, 180^\circ]$ なので、$\cos^{-1}(-0.8)$ を電卓に入れると直接この値が返ってくる。

4. 4

   第 3 象限にも置く。 第 3 象限では、角は $180^\circ$ に参照角を足したものになる：

   $\theta_2 = 180^\circ + 36.87^\circ = 216.87^\circ$

   コサインは偶関数なので、同じことを $\theta_2 = 360^\circ - \theta_1$ と書いてもよい。

5. 5

   ラジアンに直して検算する。 $\pi/180$ を掛けると：

   $\theta_1 \approx 2.498 \text{ rad}, \qquad \theta_2 \approx 3.785 \text{ rad}$

   戻して評価すると $\cos(143.13^\circ) = -0.8000$、$\cos(216.87^\circ) = -0.8000$ となり、どちらも小数第 4 位まで正しい。$360^\circ$ の整数倍を加えれば、さらに解が得られる。