関数 y = sin x / x と関数 y = cos x / x が偶関数・奇関数・どちらでもない、のいずれであるかを判定せよ。

Step-by-step solution

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   判定法を述べる。 定義域のすべての$x$について$f(-x)=f(x)$なら偶関数、$f(-x)=-f(x)$なら奇関数である。ここで扱う2つの関数はどちらも定義域が$x\neq 0$であり、原点について対称なので、この判定に意味がある。

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   構成要素の偶奇を思い出す。

   $\sin(-x)=-\sin x\ (\text{奇}),\qquad \cos(-x)=\cos x\ (\text{偶}),\qquad (-x)=-x\ (\text{奇}).$

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   1つ目の関数を判定する。

   $f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x),$

   よって$\dfrac{\sin x}{x}$は偶関数である。2つのマイナス符号が打ち消し合う——奇関数を奇関数で割ると偶関数になる。

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   2つ目の関数を判定する。

   $g(-x)=\frac{\cos(-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-g(x),$

   よって$\dfrac{\cos x}{x}$は奇関数である。ここでは分母だけが符号を変える——偶関数を奇関数で割ると奇関数になる。

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   数値で確認する。 $x=\pm 2$では$\dfrac{\sin 2}{2}=0.454649$、$\dfrac{\sin(-2)}{-2}=0.454649$であり、偶関数に求められるとおり等しい。一方$\dfrac{\cos 2}{2}=-0.208073$に対して$\dfrac{\cos(-2)}{-2}=+0.208073$であり、奇関数に求められるとおり符号が逆になる。

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   一般の偶奇の規則をまとめる。 商については、偶／偶＝偶、奇／奇＝偶、偶／奇＝奇、奇／偶＝奇となる。符号の掛け算とまったく同じ振る舞いなので、暗記するのではなくその場で組み立てられる。