等式 10 = 5 cos(2π) が成り立つかどうか判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 周分の角におけるコサインを求める。 $2\pi$ ラジアンの角は 1 回転ぶんで、単位円上の点 $(1,0)$ に戻る。コサインはその $x$ 座標を読むので

   $\cos(2\pi)=1$

   である。

2. 2

   右辺を計算する。

   $5\cos(2\pi)=5\cdot 1=5$

3. 3

   両辺を比べる。 主張は

   $10=5$

   に帰着し、これは偽である。解くべき変数も無いので、この主張は端的に成り立たない。

4. 4

   そもそも成り立ちえない構造的な理由を押さえる。 どの角についても $-1\le\cos\theta\le 1$ なので、式 $5\cos\theta$ は $[-5,5]$ に収まる。

   $|5\cos\theta|\le 5<10$

   したがって $2\pi$ を どんな 角に置き換えたとしても、方程式 $10=5\cos\theta$ に解は存在しない——振幅 $5$ が小さすぎるのである。

5. 5

   結論を述べる。 この等式は偽である。$\theta$ を未知数として $10=5\cos\theta$ と書かれていたなら、解集合は空集合になる $\checkmark$。