正誤を判定せよ：cos(180°) = −1。

Step-by-step solution

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   余弦が単位円上で何を表すかを思い出す。 正の$x$軸から反時計回りに測った角$\theta$に対して、単位円上の終点は$(\cos\theta,\sin\theta)$である。つまり余弦とはその点の$x$座標そのものであり、三角形を持ち出して比を考える必要はない。

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   $180^\circ$の位置を単位円上で捉える。 $180^\circ$の回転は半周であり、$(1,0)$を直径の反対側の点$(-1,0)$へ移す。これは象限角であり、どの象限の内部でもなく負の$x$軸のちょうど上に乗っている。

3. 3

   座標を読み取る。 終点が$(-1,0)$なので、$\cos(180^\circ)=-1,\qquad \sin(180^\circ)=0.$どちらも厳密な値であり、小数による近似は一切入らない。

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   恒等式で検算する。 2倍角の公式からは$\cos(180^\circ)=\cos(2\cdot 90^\circ)=1-2\sin^{2}(90^\circ)=1-2(1)^{2}=-1$、補角の公式からは$\cos(180^\circ)=-\cos(0^\circ)=-1$が得られる。どちらの道筋でも一致する。

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   結論を述べ、よくある罠に触れる。 この主張は正しい。よくある取り違えは、$180^\circ$を、生の数として扱われた$\pi$ラジアンと混同することである。ラジアンモードのままの電卓は$\cos(180)=-0.5985$を返すが、これは$180$度ではなく$180$ラジアンを評価しているからである。ラジアンで入力すべき正しい値は$\pi$であり、$\cos\pi=-1$となる。