関数 y = 3 csc x の周期はいくらか。

Step-by-step solution

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   周期が何を測るかを思い出す。 周期とは、定義域のすべての $x$ について $f(x+p) = f(x)$ が成り立つような最小の正の $p$ のことであり、グラフが繰り返し始めるまでの 1 周期分の横の長さである。

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   逆数の定義を使う。 $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ である。すべての $x$ について $\sin(x + p) = \sin x$ が成り立てば、逆数をとることで、どちらも定義されるところでは $\csc(x+p) = \csc x$ が成り立つ。したがってコセカントは正弦が繰り返すのとちょうど同じところで繰り返し、周期も正弦と同じ $2\pi$ である。

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   これより小さい値では成り立たないことを確かめる。 周期が $\pi$ ということはありうるだろうか。$x = \tfrac{\pi}{2}$ で試すと $\csc\tfrac{\pi}{2} = 1$ に対し $\csc\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi\bigr) = \csc\tfrac{3\pi}{2} = -1$ である。$1 \neq -1$ なので $\pi$ は周期ではない。同じ検査で $\tfrac{\pi}{2}$ も除外されるので、$2\pi$ が本当に最小である。

4. 4

   係数 3 が無関係な理由を見る。 $3$ を掛けることはグラフを縦に伸ばすだけなので、$3\csc(x+2\pi) = 3\csc x$ はまったく同じずらし方で成り立つ。周期を変えるのは $x$ に付く係数だけであり、$\csc(bx)$ の周期は $2\pi/|b|$ である。ここでは $b = 1$ なので

   $\text{周期} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$

   となる。

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   答えを述べる。 $y = 3\csc x$ の周期は $2\pi$ である。最後の確認として、$\csc$ は $\sin x = 0$ となるところ、すなわち $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ に垂直漸近線をもち、その間隔は $\pi$ である。しかし上に伸びる枝と下に伸びる枝の並び方が繰り返すのは $2\pi$ ごとである。