arcsin(0.395) の厳密な値を求めるか、存在しない理由を説明し、ラジアンと度での小数値を示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   問われていることを述べる。 $\sin\theta = 0.395 = \tfrac{79}{200}$ を満たす唯一の $\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ を求めたい。$0 < 0.395 < 1$ なので、角は第 1 象限にある。

2. 2

   閉じた形が無いことを確かめる。 有理数の正弦が閉じた形の角を与えるのは、有理数の中では $0,\ \pm\tfrac12,\ \pm 1$ というごく少数の値に限られ（ニーベンの定理）、これに二次の無理数 $\pm\tfrac{\sqrt2}{2}, \pm\tfrac{\sqrt3}{2}$ が加わるだけである。$\tfrac{79}{200}$ は有理数だが $0, \pm\tfrac12$ でも $\pm1$ でもないので、この角は $\pi$ の有理数倍ではなく、初等的な厳密表示をもたない。厳密な答えは $\arcsin(0.395)$ そのものである。

3. 3

   級数からラジアンの値を求める。 $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$ に $u = 0.395$ を入れると $0.395 + 0.010272 + 0.000721 + 0.000067 + 0.000007 = 0.406067$ となり、

   $\arcsin(0.395) \approx 0.4060679\ \text{rad}$

   に収束する。

4. 4

   度に直す。

   $0.4060679 \times \frac{180}{\pi} \approx 23.2660^{\circ}$

5. 5

   検算し、隣の値と比べる。 $\sin(23.2660^{\circ}) = 0.395000$ である。$\arcsin(0.375) \approx 22.0243^{\circ}$ と比べると、正弦が $0.02$ 増えたことで角は約 $1.24^{\circ}$ 動いた。これは $\tfrac{d\theta}{d(\sin\theta)} = \tfrac{1}{\cos\theta} \approx 1.088$ ラジアン、すなわち正弦 1 あたり $\approx 62^{\circ}$ という値と整合する。