sin A / cot A - csc A sin A を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   逆数の関数をすべて正弦と余弦に直す。 $\cot$ と $\csc$ が混ざっているときの確実な第一手は、どちらも $\sin$ と $\cos$ で書くことである。$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A},\qquad \csc A=\frac{1}{\sin A}.$ そうすればすべてが同じ言葉で書かれ、約分が目に見えるようになる。

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   第 1 項を簡単にする。 分数で割ることは逆数を掛けることである。$\frac{\sin A}{\cot A}=\frac{\sin A}{\dfrac{\cos A}{\sin A}}=\sin A\cdot\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}.$ これは $\sin A\tan A$ と同じであり、覚えておくと便利な形である。

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   第 2 項を簡単にする。 $\csc A\,\sin A=\frac{1}{\sin A}\cdot\sin A=1,$ これは $\sin A\neq 0$ であるところで成り立つ。逆数の関数ともとの関数の積は常に $1$ になる——それが逆数の公式の内容そのものである。

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   2 つの結果をまとめる。 $\frac{\sin A}{\cot A}-\csc A\,\sin A=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}-1=\frac{\sin^{2}A-\cos A}{\cos A},$ したがってこの式は簡潔な形では $\sin A\tan A-1$ である。ここから先はピタゴラスの恒等式も役に立たない。分子が $\sin^{2}A$ と 1 乗の $\cos A$ を混ぜているからである。

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   定義域を述べ、値で確かめる。 この結果には $\sin A\neq 0$（$\cot$ と $\csc$ が存在するため）と $\cos A\neq 0$（商のため）が必要なので、$A$ は $\tfrac{\pi}{2}$ のすべての倍数を避けなければならない。$A=\tfrac{\pi}{3}$ で試すと、もとの式は $\dfrac{\sin 60^\circ}{\cot 60^\circ}-\csc 60^\circ\sin 60^\circ=\dfrac{0.8660254}{0.5773503}-1=1.5-1=0.5$、簡単にした形も $\dfrac{0.75}{0.5}-1=1.5-1=0.5$ となる。