cos²x = 6sin⁴x のとき、sin2x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてをひとつの量に還元する。 両辺とも偶数乗しか含まないので、三角関数の相互関係を使えば未知数ひとつで扱える。次のように置く：

   $u=\sin^{2}x,\qquad\text{よって}\qquad\cos^{2}x=1-u,\qquad \sin^{4}x=u^{2}.$

   $\sin x$ ではなく $u=\sin^{2}x$ を選ぶことで、符号の面倒が完全に消える——この問題には $x$ と $-x$ を区別するものが何も無いからである。

2. 2

   2 次方程式を作って解く。 $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$ に代入すると：

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0,$

   より $u=\tfrac13$ または $u=-\tfrac12$ となる。

3. 3

   あり得ない解を捨てる。 $u=\sin^{2}x$ は平方なので $u\ge0$ であり、$u=-\tfrac12$ は棄却される。さらに $u=\sin^{2}x\le1$ でもあり、$\tfrac13$ はこの条件も満たす。よって

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \cos^{2}x=1-\frac13=\frac23.$

   元の条件で確かめると $6\sin^{4}x=6\cdot\tfrac19=\tfrac23=\cos^{2}x$ ✓。

4. 4

   2 倍角の公式を平方の形で使う。 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ を平方すれば、$\sin x$ と $\cos x$ の個別の符号を知る必要が一切なくなる：

   $\sin^{2}2x=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac89.$

5. 5

   平方根をとり、両方の符号を残す。 したがって

   $\sin 2x=\pm\sqrt{\frac89}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   どちらの符号も実際に起こる：元の条件は $\sin^{2}x$ しか縛らないので $x$ はどの象限にもあり得て、$\sin 2x$ は第 1・第 3 象限で正、第 2・第 4 象限で負である。象限についての情報が追加されない限り、答えは $\pm$ を付けたままにしなければならない。