cos(sin 3) を求めよ。ただし角はラジアンとする。

Step-by-step solution

1. 1

   内側から順に計算する。 これは積ではなく合成である。$\cos(\sin 3)$ とは、まず $\sin 3$ を求め、その数を $\cos$ に入れるという意味である。$\cos3\times\sin3$ ではない。

2. 2

   計算に入る前に角度の単位を確定する。 度の記号が付いていないので、$3$ は $3$ ラジアンを意味する。$\pi\approx3.14159$ なので、$3$ ラジアンの角は半回転をわずかに下回る——およそ $171.9^\circ$、すなわち正弦が小さく正になる第 2 象限である。

3. 3

   内側の関数を計算する。

   $\sin3=0.1411200$

   これが小さいのは、$3$ が正弦の消える $\pi$ に近いからにほかならない。実際 $\sin3\approx\sin(\pi-3)=\sin(0.14159)\approx0.1412$ ✓。

4. 4

   その結果に外側の関数を適用する。 ここで $\sin3$ 自体がラジアンで測った角となり、正弦の値である以上つねに $[-1,1]$ に入っている：

   $\cos(0.1411200)=0.9900590$

   小さい $\theta$ に対しては $\cos\theta\approx1-\tfrac{\theta^2}{2}=1-\tfrac{0.14112^2}{2}=1-0.00996=0.99004$ となり、小数第 4 位まで一致している ✓。

5. 5

   答えを述べる。

   $\cos(\sin3)\approx0.99006$

6. 6

   合成全体の値域にも触れておく。 $\sin3$ は $[-1,1]$ にしか入らないので、外側の余弦は $[-1,1]$ 上で評価され、その値は少なくとも $\cos1=0.5403$ ある。したがって任意の実数 $x$ に対して $\cos(\sin x)$ はつねに $[0.5403,1]$ に入り、負になることはない。負の答えが出たら、それは角度モードかかっこの取り違えの確かな証拠である。