すべての実数 x について cot x + 2sin x − csc x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを正弦の上にそろえ、定義域を記録する。 $\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}$、$\csc x = \tfrac{1}{\sin x}$を使うと：

   $\frac{\cos x - 1}{\sin x} + 2\sin x = 0$

   $\cot$も$\csc$も$\sin x \ne 0$を要求するので、$x \ne \pi k$は最初から問題の一部である——この制限が後で答えを決めることになる。

2. 2

   sin x を掛ける。 定義域上では$\sin x \ne 0$なので、この操作は正当であり何も失わない：

   $\cos x - 1 + 2\sin^2 x = 0$

3. 3

   1つの三角関数に統一する。 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$を代入すると、方程式は$\cos x$についての2次方程式になる：

   $2\left(1-\cos^2 x\right) + \cos x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

   （両辺に$-1$を掛けた後の形である。）1つの関数に帰着させることこそが、三角方程式を代数で解けるようにする。

4. 4

   2次方程式を因数分解する。 $c = \cos x$として、

   $2c^2 - c - 1 = (2c+1)(c-1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac12 \ \text{ または } \ \cos x = 1$

5. 5

   定義域に反する根を捨てる。 $\cos x = 1$なら$x = 2\pi k$であり、そこでは$\sin x = 0$となって$\cot x$も$\csc x$も定義されない。よって$\cos x = 1$は$\sin x$を掛けたことで持ち込まれた無縁根である——まさにもとの方程式に照らして検証すべき類の根である。

6. 6

   残った方程式を解く。 $\cos x = -\tfrac12$の参照角は$\tfrac{\pi}{3}$で、解は第2象限と第3象限にある：

   $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{または} \qquad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

   これらの値を10個ほど$\cot x + 2\sin x - \csc x$に代入し直すと$10^{-12}$以内で$0$になり、いずれでも$\sin x = \pm\tfrac{\sqrt3}{2} \ne 0$なので、すべて有効である。