機体 M が水平と 60° をなす経路を 600 km/h で上昇する。1.8 分後、高度 10 km にいる機体 N より M は高いか低いか。

Step-by-step solution

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   速度のうち鉛直成分だけをとる。 $600$ km/h は斜めの経路に沿った速さであって、上向きの速さではない。高度を決めるのは鉛直成分であり、経路を斜辺とする直角三角形では $60^{\circ}$ の角の対辺にあたる：

   $v_y=600\sin 60^{\circ}$

   $600$ をそのまま使うと、高度をおよそ $15\%$ 過大に見積もってしまう。

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   サインを厳密に評価する。

   $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longrightarrow\ v_y=600\cdot\frac{\sqrt3}{2}=300\sqrt3\ \text{km/h}$

   $\sqrt3$ を厳密に保てば丸めのずれが積み上がらない。数値では $300\sqrt3=519.615$ km/h である。

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   速さの単位に合わせて時間を換算する。 速さは1 時間あたりだが、時間は分で与えられている：

   $1.8\ \text{min}=\frac{1.8}{60}=0.03\ \text{h}$

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   掛けて上昇した高度を求める。

   $h_M=v_y t=300\sqrt3\times 0.03=9\sqrt3\ \text{km}\approx 15.588\ \text{km}$

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   もう一方の機体と比べる。 $h_N=10$ km であり

   $15.588>10$

   なので $M$ の方が高い。

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   別経路で見積もりを確かめる。 $0.03$ h の間に $600$ km/h で飛ぶと経路に沿って $18$ km 進み、そのうち鉛直分は $18\sin60^{\circ}=18(0.8660)=15.588$ km ✓——別の道筋で同じ数値になり、$10$ km を余裕をもって上回る。