はしごを壁に立てかける。上端は地面から 24 ft の高さで壁に触れ、下端は壁から 7 ft 離れている。はしごの長さと、はしごが地面となす角度を求めよ。

Step-by-step solution

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   状況を直角三角形としてモデル化する。 壁は鉛直、地面は水平なので、両者は $90^\circ$ で交わる。はしごが斜辺、壁を登った高さ（$24$ ft）が地面との角の対辺、壁からの距離（$7$ ft）がその隣辺である。この図を一度描いておけば、どの辺がどれかで迷うことはなくなる。

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   長さは三平方の定理で求める。 直角をはさむ辺が $7$ と $24$、斜辺が $c$ なので、

   $c^2=7^2+24^2=49+576=625$
   $c=\sqrt{625}=25\text{ ft}$

   長さが整数になるのは $(7,24,25)$ がピタゴラス数だからである。教科書の問題が意図的に作られているときによくある徴候である。

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   与えられたデータだけを使う三角比を選ぶ。 地面との角を $\theta$ とする。与えられている2辺は対辺（$24$）と隣辺（$7$）で、ちょうどこの2つから作られる比がタンジェントである：

   $\tan\theta=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}=\frac{24}{7}$

   タンジェントを使えば、前の手順で誤りがあっても角度には波及しない。

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   タンジェントの逆関数で角度を求める。

   $\theta=\arctan\!\left(\frac{24}{7}\right)=\arctan(3.4286)\approx 73.74^\circ$

   電卓が度数モードになっているか確認すること。ラジアンモードでは同じ操作で $1.287$ が返ってくる。

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   別の比で角度を検算する。 求めた斜辺を使うと、

   $\sin\theta=\frac{24}{25}=0.96,\qquad \cos\theta=\frac{7}{25}=0.28$

   $\arcsin(0.96)$ も $\arccos(0.28)$ も $73.74^\circ$ を返し、$0.96^2+0.28^2=0.9216+0.0784=1$ からも三角形に矛盾がないことが分かる。角度が急なのは物理的にも予想通りである。はしごは横に $7$ ft しか離れていないのに $24$ ft も上がっているのだから。