cos x = √6 × sin²x のとき、sin 2x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   仮定に隠れている符号の情報に注目する。 右辺 $\sqrt6\sin^{2}x$ は平方の非負倍なので、ただちに

   $\cos x\ge0.$

   が分かる。式変形に入る前にこれを押さえておくことが、後で $\cos x$ の符号を確定させる決め手になる。2 乗した式ではこの情報が失われてしまう。

2. 2

   両辺を 2 乗して 1 変数の方程式にする。 2 乗すると $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$ となり、$u=\sin^{2}x$、$\cos^{2}x=1-u$ を代入して：

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0.$

   2 乗は無縁解を生みうるので、ステップ 1 の符号の確認を最後に適用する必要がある。

3. 3

   許される根を選ぶ。 根は $u=\tfrac13$ と $u=-\tfrac12$ だが、$u=\sin^{2}x\ge0$ なので後者はあり得ない。したがって

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$

4. 4

   $\cos x$ は 2 乗した式ではなく、もとの式から取り出す。 $\sin^{2}x=\tfrac13$ を与えられた関係に戻すと：

   $\cos x=\sqrt6\cdot\frac13=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.8165,$

   となり、これは正でステップ 1 と整合する。つまり無縁解は紛れ込んでいない。確認：$\sin^{2}x+\cos^{2}x=\tfrac13+\tfrac69=\tfrac13+\tfrac23=1$ ✓。

5. 5

   倍角の公式を適用する。 $\sin x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3}$、$\cos x=+\tfrac{\sqrt6}{3}$ より：

   $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)\frac{\sqrt6}{3}=\pm\frac{2\sqrt{18}}{9}=\pm\frac{6\sqrt2}{9}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   両方の符号が残るのは、$\cos x>0$ が排除するのが 4 つの象限のうち 2 つだけだからである。$x$ は第 1 象限にも第 4 象限にもあり得て、それぞれ $\sin 2x$ は正、負となる。