cos 240° を厳密に求めよ。

Step-by-step solution

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   角の位置を特定し、符号を先に決める。 $240^\circ$ は $180^\circ$ と $270^\circ$ の間にあるので、第 3 象限にある。そこでは単位円上の $x$ 座標も $y$ 座標も負であり、余弦は $x$ 座標なので $\cos240^\circ$ は負でなければならない。大きさを計算する前に象限から符号を決めておくことが、最もよくある誤りを防ぐ。

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   参照角を求める。 最も近い横軸である $180^\circ$ から測ると：

   $240^\circ-180^\circ=60^\circ$

   したがって参照角は $60^\circ$ であり、$\cos240^\circ$ の大きさは $\cos60^\circ$ の大きさに等しい。

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   第 3 象限の公式を使う。 角を $180^\circ+\theta$ の形に書いたとき、

   $\cos\!\left(180^\circ+\theta\right)=-\cos\theta$

   が成り立つ。$\theta=60^\circ$ とすれば

   $\cos240^\circ=-\cos60^\circ$

   となる。

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   特別な角の厳密値を代入する。 $30$–$60$–$90$ の三角形から $\cos60^\circ=\tfrac12$ なので、

   $\cos240^\circ=-\frac{1}{2}$

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   検算し、別の角度からも確かめる。 数値的には $\cos240^\circ=-0.5$ が $10^{-15}$ の精度で成り立つ ✓。三平方の定理に対応する相互関係でも確かめられる。$\sin240^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ であり、$\left(-\tfrac12\right)^{2}+\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}=\tfrac14+\tfrac34=1$ ✓。なお $240^\circ$ はラジアンで $\tfrac{4\pi}{3}$ にあたり、単位円上の点 $\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$ を与える。