電卓を使わずに arccos(√2/2) を求め、答えを π の倍数で表せ。また符号が + か − かを述べよ。

Step-by-step solution

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   問いを方程式に言い換える。 $\cos^{-1}\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)$ を求めるとは、

   $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad 0 \le \theta \le \pi$

   を満たす角 $\theta$ を求めることである。この範囲の制限があるからこそ、逆余弦は出力が 1 つに定まる正真正銘の関数になる。

2. 2

   特別な値だと見抜く。 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ は $\tfrac{1}{\sqrt2} \approx 0.7071$ と同じ数であり、$45^{\circ}$ の余弦である。直角をはさむ 2 辺が $1$、$1$、斜辺が $\sqrt2$ の直角二等辺三角形において、隣辺を斜辺で割った値がちょうど $1/\sqrt2$ になる。電卓は不要である。

3. 3

   $45^{\circ}$ をラジアンに直す。 $\pi/180$ を掛ける：

   $45^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

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   符号を決める。 出力は $[0,\pi]$ になければならず、入力 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ は正なので、角は第 1 象限にある。したがって答えは $+\tfrac{\pi}{4}$ である。$-\tfrac{\pi}{4}$ も $\cos\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ を満たすが、主値の範囲の外にあるので逆余弦がそれを返すことはない。

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   検算する。 $\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ であり、$\tfrac{\pi}{4} \approx 0.7854$ は $[0,\pi]$ の内側にある ✓。もし入力が $-\tfrac{\sqrt2}{2}$ であったなら、答えは $\tfrac{3\pi}{4}$ となり、これもやはり正である。逆余弦が負になることはない。