y = sin(2x + π/6) のグラフを左に π/12 だけ平行移動する。移動後のグラフの方程式を書け。

Step-by-step solution

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   横の平行移動の規則を思い出す。 グラフを $h$ だけ左に移すとは、式中の $x$ をすべて $x+h$ で置き換えることである。右に移すなら $x-h$ を使う。向きが逆に感じられるのは、左への移動では関数が各出力に より小さい $x$ で到達しなければならないからにほかならない。

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   $x\to x+\dfrac{\pi}{12}$ を代入する。 $h=\tfrac{\pi}{12}$ として

   $y=\sin\!\left(2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right).$

   置き換えは 偏角全体 の中で行われるので、係数 $2$ が移動量にも掛かる——ここが答えが自明でなくなる箇所である。

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   偏角を展開する。 $2$ を分配すると

   $2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2x+\frac{2\pi}{12}=2x+\frac{\pi}{6},$

   よって偏角は

   $2x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2x+\frac{\pi}{3}.$

   となる。$\tfrac{\pi}{12}$ の移動が位相を $\tfrac{\pi}{6}$ だけ、つまり移動量の2 倍動かすのは、角周波数が $2$ だからである。

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   新しい方程式を書く。

   $y=\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$

   振幅（$1$）と周期（$\tfrac{2\pi}{2}=\pi$）は変わらず、位相だけが動く。純粋な平行移動である以上、そうでなければならない。

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   2 点で確かめる。 $x=0.3$ では、移動したもとの式が $\sin\!\left(2(0.3+\tfrac{\pi}{12})+\tfrac{\pi}{6}\right)=0.9970828$、答えの式が $\sin\!\left(0.6+\tfrac{\pi}{3}\right)=0.9970828$ ✓。$x=1.1$ ではどちらも $-0.1054087$ ✓。向きについての有用な照合として、もとの式を $\sin\!\left(2\left(x+\tfrac{\pi}{12}\right)\right)$ と書けばそれ自身の左へのずれが $\tfrac{\pi}{12}$ だと分かるので、新しいグラフは $\sin 2x$ より $\tfrac{\pi}{6}$ 左にずれている。