中心角 50°、半径 9 cm の扇形がある。弧の長さ s と扇形の面積 A を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   まず角をラジアンに直す。 公式 $s=r\theta$ と $A=\tfrac12 r^2\theta$ が使えるのは $\theta$ がラジアンのときだけである。これらは円全体の $\theta/(2\pi)$ の割合をとることから導かれるからである。$\pi/180$ を掛けると：

   $\theta=50^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\ \text{rad}$

   度数のまま代入すると、どちらの答えもおよそ $57$ 倍に膨れ上がってしまう。

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   扇形の 2 つの公式を書く。 中心角 $\theta$ がラジアンのとき、

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   である。これらは円周 $2\pi r$ と円の面積 $\pi r^2$ の $\theta/(2\pi)$ 倍にすぎない。

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   弧の長さを計算する。

   $s=r\theta=9\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{5\pi}{2}\approx 7.854\ \text{cm}$

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   扇形の面積を計算する。 先に半径を 2 乗し、それから半分にする：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(9)^2\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{81}{2}\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{45\pi}{4}\approx 35.343\ \text{cm}^2$

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   丸めた答えを書き出す。

   $\boxed{s\approx 7.854\ \text{cm},\qquad A\approx 35.343\ \text{cm}^2}$

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   A = ½rs の関係で検算する。 $\theta$ を消去すると $A=\tfrac12 rs$ となり、$\tfrac12(9)\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{45\pi}{4}$ で、上で求めた面積とぴったり一致する。