tan(4.2π) を厳密な値で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   正接の周期は $2\pi$ ではなく $\pi$ であることを使う。 正弦や余弦と違い、正接は半回転ごとに繰り返す：

   $\tan(\theta+k\pi)=\tan\theta\quad\text{for any integer }k$

   ここで $2\pi$ を使っても答えは出るが、あとに残る簡約の手間が増える。

2. 2

   $\pi$ の整数倍を切り離す。 $4.2=4+0.2$ と書けば：

   $\tan(4.2\pi)=\tan(4\pi+0.2\pi)=\tan(0.2\pi)$

   となる。$4\pi$ はちょうど 4 周期分だからである。

3. 3

   残った角を見慣れた形に直す。

   $0.2\pi=\frac{\pi}{5}=36^\circ$

   したがって問題は $\tan 36^\circ$ を求めることに帰着する。

4. 4

   正五角形の角の厳密値を引く。 $36^\circ$ という角は正五角形と黄金比に結び付いており、その正接は根号による閉じた形をもつ：

   $\tan\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt5}$

5. 5

   数値で検算する。 $\sqrt5\approx 2.236068$ なので $5-2\sqrt5\approx 0.527864$ であり、その平方根は $\approx 0.726543$ となる。直接計算すると $\tan(4.2\pi)\approx 0.7265425$ $\checkmark$。値が正であることは、$\tfrac{\pi}{5}$ が第 1 象限にあることと整合する。