x が正の場合と負の場合に分けて、arctan(1/x) を arctan(x) を使って表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を確認する。 式 $\tfrac1x$ は $x\neq 0$ を要求するので、恒等式は 2 つの分岐をもち、$x=0$ については何も述べない。

2. 2

   余角の関係から正の分岐を導く。 $x>0$ に対し $\theta=\arctan x$ とおくと $0<\theta<\tfrac{\pi}{2}$ である。直角をはさむ 2 辺が $1$ と $x$ の直角三角形では 2 つの鋭角が余角の関係にあり、どちらの辺を「対辺」と見るかを入れ替えることは $x$ を $\tfrac1x$ に置き換えることに対応する。

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x>0$

3. 3

   負の分岐で定数が変わる理由を見る。 $x<0$ では $\arctan x$ も $\arctan\tfrac1x$ も $\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right)$ に入るので、その和は負であり $+\tfrac{\pi}{2}$ にはなりえない。正しい定数は負のほうである。

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x<0$

4. 4

   跳びを理解する。 関数 $\arctan x+\arctan\tfrac1x$ は原点の両側でそれぞれ定数だが、原点をまたぐと $\pi$ だけ跳び、$x>0$ では $\tfrac{\pi}{2}$、$x<0$ では $-\tfrac{\pi}{2}$ という値をとる。この跳びが生じるのは、arctan の主値の範囲が幅 $\pi$ しかないからである。

5. 5

   各分岐で値を 1 つずつ確かめる。 $x=2$ では $\arctan\tfrac12\approx 0.46365$ に対し $\tfrac{\pi}{2}-\arctan 2\approx 1.57080-1.10715=0.46365$ $\checkmark$。$x=-2$ では $\arctan\left(-\tfrac12\right)\approx-0.46365$ に対し $-\tfrac{\pi}{2}-\arctan(-2)\approx-1.57080+1.10715=-0.46365$ $\checkmark$ である。