arcsin(x) + arcsin(2x) = pi/2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域を定める。 2 つの逆正弦がどちらも定義されるためには $-1\le x\le1$ かつ $-1\le2x\le1$ が必要である。厳しいのは後者で

   $-\tfrac12\le x\le\tfrac12.$

   となる。この区間の外にある候補は、式変形の結果がどうであれ自動的に無効である。

2. 2

   片方の逆正弦を孤立させ、両辺のサインをとる。 移項して $\sin$ を施すと

   $\arcsin(2x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)\;\Longrightarrow\;2x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=\cos(\arcsin x).$

   となる。余角の公式 $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$ が右辺を扱いやすくしている。

3. 3

   $\cos(\arcsin x)$ を代数の式に直す。 $\theta=\arcsin x$ とおくと $\sin\theta=x$ であり $\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ ——この区間では $\cos\theta\ge0$ である。したがって 正 の根をとる。

   $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}},$

   となり、方程式は $2x=\sqrt{1-x^{2}}$ になる。

4. 4

   2 乗する前に符号条件を取り出す。 平方根は決して負にならないので $2x\ge0$、すなわち $x\ge0$ である。これをここで記録しておくことが、2 乗の手順を無縁解が生き延びるのを防ぐ。2 乗すると

   $4x^{2}=1-x^{2}\;\Longrightarrow\;5x^{2}=1\;\Longrightarrow\;x=\pm\frac{1}{\sqrt5}.$

5. 5

   根を選んで検証する。 条件 $x\ge0$ が負の値を排除するので

   $x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0.4472,$

   が残り、これは定義域 $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$ の中にもある ✓。直接確かめると $\arcsin(0.4472)=0.46365$、$\arcsin(0.8944)=1.10715$ であり、$0.46365+1.10715=1.57080=\tfrac{\pi}{2}$ ✓。棄却した根 $x=-\tfrac{1}{\sqrt5}$ では代わりに $-\tfrac{\pi}{2}$ になる。