三角方程式 sin x - 2 cos 2x = 1 を解き、一般解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを1つの三角関数で書き直す。 この方程式には角 $x$ と角 $2x$ が混ざっており、そのままでは解けない。2倍角の公式の3つの形のうち、もう一方の項が $\sin x$ なので、正弦だけで書かれたものを選ぶ：

   $\cos 2x=1-2\sin^{2}x.$

2. 2

   代入して整理する。

   $\sin x-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=1\ \Longrightarrow\ \sin x-2+4\sin^{2}x=1,$

   $4\sin^{2}x+\sin x-3=0.$

   これで方程式は1つの量についての2次方程式になった。

3. 3

   2次方程式を解く。 $t=\sin x$ と置くと $4t^{2}+t-3=0$ である。判別式は $D=1^{2}-4(4)(-3)=49$ で平方数なので、

   $t=\frac{-1\pm 7}{8}\ \Longrightarrow\ t_{1}=\frac{3}{4},\qquad t_{2}=-1.$

   どちらの値も $[-1,1]$ に入るので捨てる必要はない。ここは必ず確認すること。$[-1,1]$ の外に出る解は不適だからである。

4. 4

   $\sin x=\tfrac34$ を解く。 この値は特別な角ではないので、答えは $\arcsin$ を使ったまま表す。正弦が $\tfrac34$ を取るのは第1象限で1回、第2象限で1回である：

   $x=\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n\quad\text{または}\quad x=\pi-\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$

   これは $x=(-1)^{n}\arcsin\frac{3}{4}+\pi n$ というまとまった式で1行に書ける。数値では $\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ ラジアン $\approx 48.59^{\circ}$ である。

5. 5

   $\sin x=-1$ を解く。 ここでは正弦が最小値を取り、それは1周期に1点だけなので、解の族は1つしかない：

   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\left(\text{同じことだが }x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.$

6. 6

   両方の族をもとの方程式で検算する。 $x=\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ では $\sin x-2\cos 2x=0.75-2(-0.125)=1$。$x=-\tfrac{\pi}{2}$ では $-1-2\cos(-\pi)=-1+2=1$。どちらも方程式を満たすので、解集合はこの2つの族の合併である。