tan 7° を小数第 4 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   角をラジアンに直す。 $\tfrac{\pi}{180}$ を掛けると：

   $7^\circ=0.1221730\ \text{rad}$

2. 2

   微小角のふるまいから答えを予想する。 ラジアンで測った小さい $x$ に対して $\tan x\approx x$ なので、値は $0.1222$ をわずかに上回るはずである。補正項は 3 次である：

   $\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$

3. 3

   級数を当てはめる。 $x=0.1221730$ とすると $x^3=0.00182357$ なので、

   $\tan x\approx 0.1221730+0.0006079=0.1227809$

   となる。次の項が $x^5\approx 3\times 10^{-5}$ の $\tfrac{2}{15}$ 倍という大きさなので、これですでに小数第 5 位まで正確である。

4. 4

   商の定義でも照合する。 $\tan\theta=\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であり、$\sin 7^\circ\approx 0.1218693$、$\cos 7^\circ\approx 0.9925462$ なので：

   $\frac{0.1218693}{0.9925462}\approx 0.1227846$

5. 5

   丸めて確認する。 小数第 4 位までにすると

   $\tan(7^\circ)\approx 0.1228$

   となる。直接計算すると $0.12278456$ である $\checkmark$。値が $\sin 7^\circ$ を上回るのは当然で、$\cos 7^\circ<1$ で割ることで値が大きくなるからである。