sin(2x + π/2) + 5 を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   使う公式を見きわめる。 4 分の 1 周期分の位相のずれは正弦を余弦に変える。

   $\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$

   これは加法定理から従う。$\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{2}=\sin\theta\cdot0+\cos\theta\cdot1=\cos\theta$ である。

2. 2

   型を正しく当てはめる。 ここでは内側の式全体が $2x+\tfrac{\pi}{2}$ なので $\theta=2x$ である——$x$ ではなく $2x$ 全体である。代入すると

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(2x)$

   となる。代わりに $\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$ や $2\cos x$ と書いてしまうのがよくある誤りである。

3. 3

   定数はそのままにする。 $+5$ は三角関数の外にあるので、どの公式もこれには触れない。

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+5=\cos(2x)+5$

4. 4

   簡単にした形から性質を読み取る。 $\cos(2x)+5$ の形では、振幅が $1$、周期が $\tfrac{2\pi}{2}=\pi$、中心線が $y=5$、値域が $[4,6]$ である。これらはすべて簡単にした後のほうがはるかに見やすい——それこそが簡単にする目的である。

5. 5

   位相のずれも消えたことに注意する。 もとの式は $x$ について $-\tfrac{\pi}{4}$ の横のずれをもっていた（$2x+\tfrac{\pi}{2}=2\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$ だから）。余弦として書き直すとそれが完全に吸収され、位相のずれが 0 になる。

6. 6

   数値で検証する。 $[-9,9]$ から無作為に選んだ $40$ 個の $x$ の値で $\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{2}\right)+5$ と $\cos(2x)+5$ を比べると、すべての点で計算機の精度まで一致する ✓。