次のうち偶関数はどれか。f(x) = sin(−3πx)、f(x) = tan(3πx)、f(x) = cos(5πx/4)、f(x) = csc(−πx/2)。

Step-by-step solution

1. 1

   判定法を述べる。 定義域のすべての $x$ について $f(-x) = f(x)$ が成り立つとき関数は偶関数であり（グラフは $y$ 軸に関して対称）、$f(-x) = -f(x)$ のとき奇関数である（原点に関して対称）。つまり問題は、$-x$ を代入してどちらの符号が戻るかを見るだけである。

2. 2

   基本的な三角関数の偶奇を思い出す。 $\cos$ は偶関数で $\cos(-\theta) = \cos\theta$、その逆数の $\sec$ も偶関数である。一方 $\sin$、$\tan$、$\cot$、$\csc$ はすべて奇関数で $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ などが成り立つ。中身が 1 次式 $kx$ でもこの性質は崩れない。$x$ を $-x$ に置き換えても $kx$ の符号が変わるだけだからである。

3. 3

   奇関数と思われる 3 つを調べる。

   $\sin(-3\pi(-x)) = \sin(3\pi x) = -\sin(-3\pi x)$

   $\tan(3\pi(-x)) = \tan(-3\pi x) = -\tan(3\pi x)$

   $\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}(-x)\right) = \csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) = -\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}x\right)$

   いずれももとの式の符号を変えたものが返るので、3 つとも偶関数ではなく奇関数である。

4. 4

   コサインの選択肢を調べる。 コサインは偶関数なので

   $\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}(-x)\right) = \cos\!\left(-\tfrac{5\pi}{4}x\right) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right) = f(x)$

   となる。$f(-x) = f(x)$ なので、これが偶関数である。

5. 5

   数値で確かめる。 $x = 0.3$ をとると $\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(0.3)\bigr) = \cos(1.1781) = 0.3827$、$\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(-0.3)\bigr) = \cos(-1.1781) = 0.3827$ ✓——等しい。同じ $x$ で正接の選択肢を見ると $\tan(0.9\pi) = -0.3249$ に対し $\tan(-0.9\pi) = +0.3249$ で符号が逆になり、奇関数であることが確かめられる。答えは $f(x) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right)$ である。