0 ≤ x < 2π の範囲で cos(2x − π/3) + cos x = 0.5 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   和積の公式で2つの余弦をまとめる。 $A=2x-\frac{\pi}{3}$、$B=x$として$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$を使うと、$\frac{A+B}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6},\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6},$なので方程式は$2\cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,\quad\text{すなわち}\quad \cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac14$となる。

2. 2

   閉じた形の解が存在しないことを見抜く。 2つの余弦の偏角の振動数の比が$3:1$なので、この積を1つの角の三角関数1つにまとめることはできない。$t=\tan\frac{x}{2}$と置換すると$t$についての4次方程式になり、その根は無理数である。したがってここでは数値解を求めるのが正直な道である。

3. 3

   解の個数を見積もる。 2倍角の公式で展開すると$\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12\cos 2x+\tfrac{\sqrt3}{2}\sin 2x$なので、左辺は最初の2つの調和成分からなる滑らかな周期$2\pi$の関数である。$[0,2\pi)$で値を調べると$-1.583246$から$1.891702$までの範囲を動き、水準$0.5$をちょうど2回横切る。よって解は2つと予想される。

4. 4

   2つの交点を囲い込んで二分法にかける。 $f(x)=\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})+\cos x-0.5$とおく。すると$f(1.2)=+0.078629$と$f(1.3)=-0.214508$が最初の交点を挟み、$f(5.8)=-0.042926$と$f(5.9)=+0.187084$が2つ目を挟む。それぞれの区間を倍精度いっぱいまで二分すると$x_{1}=1.227110981,\qquad x_{2}=5.818834845$が得られる。

5. 5

   両方を代入し直す。 $x_{1}=1.227110981$では$\cos(2x_{1}-\tfrac{\pi}{3})=0.163041$、$\cos x_{1}=0.336959$で$0.163041+0.336959=0.500000$。$x_{2}=5.818834845$では$\cos(2x_{2}-\tfrac{\pi}{3})=-0.394113$、$\cos x_{2}=0.894113$で$-0.394113+0.894113=0.500000$。どちらの解も小数第6位まで合っている。

6. 6

   度に直し、一般解を述べる。 $x_{1}\approx 70.3083^\circ$、$x_{2}\approx 333.3947^\circ$である。方程式全体の周期が$2\pi$なので、すべての解は$x\approx 1.227111+2k\pi\quad\text{または}\quad x\approx 5.818835+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$と書ける。