arctan(1/2) をラジアンと度で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   逆関数が何を求めているのかを述べる。 $\arctan\left(\tfrac12\right)$ とは、

   $\tan\theta=\frac{1}{2},\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

   を満たす唯一の角 $\theta$ である。この主値の範囲があるからこそ答えが 1 つに定まる。正接が $\tfrac12$ になる角は無限にあり、互いに $\pi$ の整数倍だけ離れている。

2. 2

   計算する前に答えを挟み込む。 $\tan 0=0$、$\tan\tfrac{\pi}{4}=1$ であり、正接は増加するので、角は $0<\theta<\tfrac{\pi}{4}=45^\circ$ を満たさなければならない。$\tfrac12>0$ なので正である。

3. 3

   特別な角の形にはならないと見抜く。 正接が $\tfrac12$ になる角は、標準的な $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ の三角形のどれにも対応しない。したがって答えは無理数であり、数値で与えるほかない：

   $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\approx 0.4636476\ \text{rad}$

4. 4

   度に直す。 $\tfrac{180}{\pi}$ を掛ける：

   $0.4636476\times\frac{180}{\pi}\approx 26.5651^\circ$

5. 5

   正接を取り直して検算する。 $\tan(0.4636476)=0.5000000$ $\checkmark$ であり、値は予想した範囲 $0<26.565^\circ<45^\circ$ の内側にある $\checkmark$。幾何的には、直角をはさむ 2 辺が $1$ と $2$、斜辺が $\sqrt5$ の直角三角形における鋭角である。